Title: Analisi / Funzini

Q: definizione di funzione
A: \(f: A \rightarrow B\)
\(x \xrightarrow{\space f\space} f(x)\):
- A è il dominio di f
- B è il codominio di f
- f è la legge di associazione
> f è la legge d'associazione che associa un elemento nell'insieme A in un insieme B (la funzione è definita dal: dominio,codominio e legge di associazione (\(A,B,f\)))
\(\forall x \in A, \exists! b \in B : f(x) = b\)
due funzioni sono uguali se e solo se il dominio il codominio e la legge di associazione sono uguali:
<details>
\(\displaylines{f: A \rightarrow B \\ f': A'\rightarrow B' \\ \begin{cases} A=A' \\ B=B' \\ f=f'\end{cases}}\)
</details>

Q: Iniettiva
A: > prioprietà iniettiva (1-1): tutti gli elementi del codominio sono associati a un elemento del codominio diverso
\(f: A \rightarrow B\) se \(\forall a \in A,\forall a' \in A : a\neq a' \implies f(a) \neq f(a')\)
> l'inniettività dipenda dal dominio
<details>
<summary>
esempio
</summary>
\(f(n)=n^2\) non è (1-1) perchè \(f(-1)=1=f(1)\)
ma la si può far diventare mettendo come dominio R+
\(f(n)=n^3\) è (1-1)
</details>

Q: Surrettiva
A: > surrettiva (su) ogni elemento del codominio deve avere un elemento del dominio per cui f(a)=b
\(\forall b \in B, \exists a \in A : f(a)=b\)
> la surrettività dipenda dal codominio

Q: Biunivoca
A: > Una funzione sia surrettiva che invettiva è detta biunivoca e quindi è invertibile

Q: Insieme Immagine
A: > l'immagine di una funzione sono tutti gli elementi di b che sono associati con a
\(\text{Img} f = \{ b \in B | \exists a \in A : f(a)=b \}\)
\(\text{Img} f \subseteq B\)

Q: Funzioni crescenti o decrescenti e pari o dispatri
A: ## Funzioni Crescenti e Decrescenti
\(I \subset \mathbb{R}\)
1. f si dice **crescente** se \(\forall x, y \in I : x < y \implies f(n) \le f(y)\)
2. f si dice **decrescente** se \(\forall x, y \in I : x < y \implies f(n) \ge f(y)\)
## Funzioni Pari e Dispari
data una funzione
\(f: A \rightarrow \mathbb{R}\)
\(f(x)=f(-x) \forall x \in A\) la funzione è pari
\(-f(x)=f(-x) \forall x \in A\)  la funzione si dice dispari

Definizione di Grafico di una funzione

Q: Definizione:Invertibilie, teorema dell' invertibilità
A: è invertibilie se e solo se è biunivoca

Q: Dimostrazione che Q e N hanno la stessa cardinalità
A: la prima funzione è definita come

Def: limite finito al finito

Teorema: di permanenza del segno

Teorema: del confronto