Title: Analisi / Successione

Q: Definizione: Successione Numerica
A: Una successione è una funzione definita  \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}\) e si può anche scrivere con la notazione \((a_n)_{n} \in \mathbb{N}\)

Definizione di successione, superiormente limitata, inferiormente limitata e limitata

Def:  limite tendente all'infintio che va al finito di una successione

Def: limite all'inifito, che va all'infinito di una successione

Q: Teorema: Algebra dei limiti
A: Algebra dei limiti
Teorema (Algebra dei limiti)
siano \((a_n)_m\),\((b_n)_m\) successioni tali che, \(a_n \rightarrow l_1\) ,\(b_n \rightarrow l_1\) dove \(l_1,l_2 \in \mathbb{R} \cup \{\infty \} \cup \{\infty\}\)
Somma
\[a_n+b_n \rightarrow \begin{cases} l_1+l_2 &\text{se } l_1,l_2 \in \mathbb{R} \\ \infty &\text{se } l_1=+\infty,l_2 \in \mathbb{R}\cup\{+\infty\} \\ -\infty &\text{se } l_1=-\infty,l_2 \in \mathbb{R}\cup\{-\infty\} \\ \end{cases}\]
Forme Indeterminate \(+\infty-\infty\)
Moltiplicazione
\[a_n \times b_n \rightarrow \begin{cases} l_1\times l_2 &\text{se } l_1,l_2 \in \mathbb{R} \\ +\infty &\text{se } l_1=+\infty,l_2 \in (\mathbb{R}^+\cup\{+\infty\})\backslash \{0\} \\ +\infty &\text{se } l_1=-\infty,l_2 \in (\mathbb{R}^-\cup\{-\infty\})\backslash \{0\} \\ -\infty &\text{se } l_1=+\infty,l_2 \in (\mathbb{R}^-\cup\{-\infty\})\backslash \{0\} \\ -\infty &\text{se } l_1=-\infty,l_2 \in (\mathbb{R}^+\cup\{+\infty\})\backslash \{0\} \\ \end{cases}\]
Forme Indeterminate \(0\times (\pm \infty)\)
Divisione
\[\frac{a_n}{b_n} \rightarrow \begin{cases} \frac{l_1}{l_2} &\text{se } l_1,l_2 \in \mathbb{R} \\ +\infty &\text{se } l_1=+\infty,l_2 \in l_2>0 \\ +\infty &\text{se } l_1=-\infty,l_2 \in l_2<0 \\ -\infty &\text{se } l_1=-\infty,l_2 \in l_2>0 \\ -\infty &\text{se } l_1=+\infty,l_2 \in l_2<0 \\ 0 &\text{se } l_1\in \mathbb{R},l_2 \in \pm \infty   \end{cases}\]
Forma Ineterminata:\(\frac{\pm \infty}{\pm \infty}\)

Definizione: successioni Monotone
Teorema delle successioni Monotone

Teorema: convergenza in e

Q: Def: Intorno Sferico
A: \(x_0 \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{R}: r>0\)
Si dice intorno sferico di centro, \(x_0\) e di raggio r:
\(I_r(x_0)=\{x \in \mathbb{R} | |x-x_0| <r\}\)

Q: Def: Punto di accomulazione
A: Nota: x si dice punto di accumulazione di A se ci si può avvicinare arbitrariamente a x , rimanendo in A

Proposizione che lega un punto di accomulazione ad una successione