Title: Analisi / Derivate

Q: Definizione di Derivata
A: \(f: I \to \mathbb{R}\) I intervallo, \(x_0 \in I\),\(f\) si dice derivabile in \(x_0\) se:
 \(\exists \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\in \mathbb{R}\)
 in tal caso, tale limite si chiama derivata di f in x_0, e si scrive:
 \(f'(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)=Df(x_0)\)
\(f\) è derivabile solo se la derivata di destra e di sinistra, esistono e sono uguali \(f'_+(x_0)=f'_-(x_0)=f'(x_0)\)(derivata a destra è il limite in \(x_0^+\) e quella di destra è il limite in \(x_0^-\)).
Possiamo riscrivere \(x\) come \(x_0+h\) e trasformare la definizione in \(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)

Q: Equazione della retta tangente
A: > Se f è derivabile in \(x_0 \in I\) allora esiste una retta tangente al grafico di \(f\) in \(x=x_0\) ed ha equazione \(r: y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)

Q: Algebra delle derivate per la somma,moltiplicazione,divisione
A: \(f\pm g\) è derivabile in \(x_0\)      to \((f \pm g)'(x_0)=f'(x_o) \pm g'(x_0)\)
 \(f \times g\) è derivabile in \(x_0\)  to  \((f\times g)'(x_0)=f'(x_0)\times g(x_0)+ f(x_0)\times g'(x_0)\)
 \(\frac{f}{g}\) è derivabile in \(x_0\) to \((\frac{f}{g})'(x_0)=\frac{f'(x_0)\times g(x_0)-f(x_0)\times g'(x_0)}{(g(x_0))^2}\)

Q: Derivate di funzioni Composte
A: **funzione composta**: \(Df(g(x_0))=f'(g(x_0))g'(x_0)\)

Q: Derivate delle funzioni goniometriche
A: **Funzioni Goniometriche**
1. \(D \sin x=\cos x\)
2. \(D \cos x=-\sin x\)
3. \(D \tan x= \frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\)

Q: derivate dell'esponenziale, prova a partire da e
A: **Esponenziale**
\(Da^x=(\ln a)a^x\)

Q: Derivata Logaritmica
A: **funzione logaritmica**:
\(D \log_a y= \frac{1}{\ln a }\times \frac{1}{y}\)

Q: Teorema: relazione tra derivabilità e continuità
A: se f è derivabile in \(x_0\) allora è anche continua in \(x_0\)

Definizione di Classe \(C^k\)

Teorema di Fermat

Definizione di massimo e minimo relativo

Teorema: relazione tra il segno della derivata e monotonia della funzione