Title: Analisi 2 / SpazioR^n

Q: Prodotto scaleare euclideo
A: **Def:** dati \(x=(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n\) ,\(y=(y_1,\dots,y_n) \in \mathbb{R}^n\), il prodotto scalare tra x e y **è il numero reale** \(<x,y>:=(x_1\times y_1+ \dots+ x_n\times y_n) = \sum^n_{k=1} x_k\times y_k\)  (notazione equivalente è \(x \cdot y\))

Q: Proprietà del prodotto scalare ecludeo (simmetria, bilinearità, applicato a se stesso)
A: **Proprietà**:
1. simmetrico: \(<x,y>= <y,x>\)
2. bilnearità: \(\forall x,y,z \in \mathbb{R}^n, \forall \lambda,\mu \in \mathbb{R}\) vale \(<\lambda x+\mu y, z>= \lambda<x,z>+ \mu <y,z>\)
3. \(\forall x \in \mathbb{R}^n\) vale  \(<x,x> \geq 0\)
    - (3 bis) \(<x,x>=0 \implies x=\underline{0}\)

Q: Vettori ortogonali
A: dati due vettori \(x,y \in \mathbb{R}^n\) sono ortogonali se il loro prodotto scalare euclideo \(<x,y>=0\)

Q: Norma Vettore
A: **Def:** la norma di un vettore (lunghezza) \(x \in \mathbb{R}^n\), \(||x||=\sqrt{<x,x>}\)

Q: Vettore Normalizzato
A: **Normalizzazione**:dato un \(x\in \mathbb{R}^n \backslash {\underline{0}}\) cerco un \(r>0\) tale che \(||rx||=1\) applicando le proprietà 1 della norma del vettore \(r=\frac{1}{||x||}\)
> NOTA:
> con la normalizzazione possiamo scrivere un vettore come il prodotto scalare tra la norma e le sue coordinate polari

Q: Distanza tra due punti nello spazio R^n
A: È la norma tra la differenza dei due punti \(||x-y||\)

Q: Intorno sferico
A: **def**(Intorni Sferici) \(x \in \mathbb{R}^n,r >0\)  \(B(x,r)=\{y \in \mathbb{R}^n  |y-x|<r\}\) (palla o intorno sferico con centro x e raggio r>0)

Q: Insieme limitato
A: **Def**: \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) si dice limitato se \(\exists r>0\) tale che \(A \subseteq B(0,r)\)

Q: Insieme Aperto
A: **Def**: \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) si dice aperto se \(\forall x \in A ,\exists r>0\) tale che \(B(x,r)\subseteq A\)

Q: Proprietà della norma
A: **proprietà**:
1. \(\forall x \in \mathbb{R}^n, \lambda \in \mathbb{R}\) vale \(|| \lambda x || = |\lambda| \times ||x||\)
2.  \(||x|| \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}^n\) e   \(||x||= 0 \iff x=0\)
3. disuguaglianza tirangolare \(\forall x,y \in \mathbb{R}^n\) \(||x+y||\leq ||x||+||y||\)

Q: Disuguaglianza di Cauchy-schwarz
A: \(\forall x,y \in \mathbb{R}\) vale \(|<x,y>| \le |x| \cdot |y|\)