Title: Analisi 2 / Integrali

Somme di Reimann

Q: Definizione: Integrali Linearità
A: \(f,g\) continua su \([a,b], \lambda \varphi \in \mathbb{R}\) allora \(h\times[a,b]\to \mathbb{R}, h(x)=\lambda f(x)+ \varphi g(x)\) h è integrabilie \(\int_a^b [\lambda f(x)+\varphi g(x)] dx = \lambda \int^a_b f + \varphi \int^b_a g\)  (**limite della somma è uguale alla somma dei limiti**)

Q: Integrali Additionalità
A: > la somma di due integrali della stessa funzione con punto il limite opposto in comune allora è equivalente alla l'integrale degli altri due estremi
sia \(f [a,b] \to \mathbb{R}\) continua , \(c \in [a,b] \text{ allora } \int_a^b f= \int_a^c f + \int^b_c f\)

Q: Teorema della Media Integrale
A: **Teorema**: della media integrale,  \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continua \(\exists c  \in [a,b] : \frac{1}{b-a}\times \int_a^b f(x) dx=f(c)\)

Q: CAMBIO DI VARIABILE
A: Cambio di variabile \(x=h(t)\) in \(\int f(x) dx\).
**Teorema**: \(I,J\subset \mathbb{R}\)  intervalli aperti, \(h:I\to J\) \(f:J\to\mathbb{R}\), continua siano parti \(\alpha,\beta \in I\) allora vale:
\(\int _{h(\alpha)}^{h(\beta)} f(x)\space dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(h(t))h'(t) \space dt\)
\(x=h(t) \in J\)= dominio di f

Q: Integrale Monotonia
A: se una funzione è sempre maggiore uguale in un intervallo chiuso allora sara maggiore uguale anche l'integrale
Monotonia \(f,g [a,b] \to \mathbb{R}\) continue, \(f(x)\le g(x) \forall x \in [a,b]\) se \(a<b\) allora \(\int^b_a f(x) dx \le \int^b_a g(x) dx\)

Definizione di Primitiva

Teorema di caratterizzazione delle primitive

Definizione Funzione Integrale

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema: fondamentale del cacolo integrale (II) o di Toricelli

integrale Generalizzato

Insiemi x e y semplici