Title: Analisi 2 / Funzioni R^n

Q: Successioni R^n
A: Una successione in \(\mathbb{R}^n\) è una famiglia di \((x_k)_{k \in \mathbb{N}}\) dove \(x_k \in \mathbb{R}^n\) \(\forall x \in \mathbb{N}5\) \(x=(x_k^1,x_k^2,\dots,x_k^n) \in \mathbb{R}^n\) \(\forall x \in \mathbb{N}\) (nota non è un elevamento a potenza è un indice che va da 1 a n)

Q: Successione convergente
A: Def successione convergente \((x_k) k \in \mathbb{N}\) successioni in \(\mathbb{R}^n, x \in \mathbb{R}^n\) .\(\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}x_k=x\) Si dice \(\displaystyle \lim_{k \rightarrow +\infty} x^1_k = x^1 , \dots, \displaystyle \lim_{k \rightarrow +\infty} x^n_k = x^n\)

Q: Funzioni di più variabili / grafico
A: **Def**(grafico):Siano \(A \subseteq \mathbb{R}^n, B \subseteq \mathbb{R}^q\) dove \(\space n,q \in \mathbb{N}\) , Data\(f:A\to B\) il grafico è \(Graf(f)=\{(x,f(x))\} \subseteq A \times B\)

Q: Funzione Continua
A: **Def**(funzione continua): Dati \(A \subseteq \mathbb{R}^n, B\subset \mathbb{R}^q\). Sia \(f: A \to B\) con \(\bar{x} \in A\) si dice f continua in \(\bar{x}\) se vale\(\forall (x_k)_{k \in \mathbb{N}}\),( dove \((x_k)\) sono successioni in \(A\)), \(\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty} (x_k)=\bar{x}\) \(\implies \displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty} f(x_k)=f(\bar{x})\)   (convergenza in \(\mathbb{R}^q\))
Alternativa \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) si dice continua in \([a,b]\) se per ogni \(\bar{x} \in \mathbb{R}^n\)  \[\lim_{h\to \underline{0}} f(\bar{x}+h)= f(\bar{x})\]

Q: Gradiente
A: **Def**(gradiente):Se \(\exists D_x f\) e \(\exists D_y f\) in \((\bar{x},\bar{y})\) allora \(\nabla f(\bar{x},\bar{y})\) \(=(D_x f(\bar{x},\bar{y}), D_y f(\bar{x},\bar{y}))\)

Q: o piccolo
A: o piccolo
Def: Sia \(A \subseteq \mathbb{R}^2,\) un insieme aprto contentente \((0,0) \in A\), sia \(g:A \to \mathbb{R}\), e \(p \ge 0\). Si scrive \(g(h,k)=o(|(h,k)|^p)\) per \((h,k) \to (0,0)\) se vale \(\forall \varepsilon >0,\space \exists \delta >0\) tale che \(\biggl |\frac{g(h,k)}{||(h,k)^p||}\biggr |<\varepsilon\) \(\forall (h,k) \in A \cap B((0,0)\delta)\)

Q: Definizione di Funzione Differenziabile
A: Definizione di Funzione differenziabile
NOTA: in dimensione uno dire differenziabile e derivabile è la stessa cosa
Def:(funzione differenziabile) \(A \subseteq \mathbb{R}^2\) aperto. \(f:A\to \mathbb{R}, (\bar{x}\), \(\bar{y})\in A\) si dice \(f\) differenziale in \((\bar{x},\bar{y})\in A\) se:
1. \(\exists \frac{\delta f}{\delta x} (\bar{x},\bar{y})\) e \(\frac{\delta f}{\delta y} (\bar{x},\bar{y})\in \mathbb{R}\)
2. Per ogni \((h,k)\) tale che \((\bar{x},\bar{y})+(h,k) \in A\) vale lo sviluppo \(f((\bar{x},\bar{y})+(h,k))=\) \(f(\bar{x},\bar{y})+<\nabla f(\bar{x},\bar{y}),(h,k)>+o(|(h,k)|)\) per \((h,k) \to (0,0)\)

Formula del piano tangente a una funzione \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) in un punto