Title: Analisi 2 / DerivateR^n

Q: Derivata parziale generica e a due variabili
A: Derivata parziale
Def:$A \subset \(\frac{\delta f}{\delta x}(\bar{x},\bar{y})=\) \(\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(\bar{x}+h,\bar{y})-f(\bar{x},\bar{y})}{h}\) ( e \(\frac{\delta f}{\delta y}(\bar{x},\bar{y})=\) \(\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(\bar{x},\bar{y}+h)-f(\bar{x},\bar{y})}{h}\) ) Se esistono i due limiti si chiama derivata parziale di f rispetto a x ( nel punto \((\bar{x},\bar{y})\))
**Def**: (derivata parziale n-dimensioni)Se \(A\subseteq \mathbb{R}^n\) dove \(f:A \to \mathbb{R}^n\), \(\bar{x}=(\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_n) \in A\)  e \(j \in \{1, \dots, n\}\) poniamo \(D_j f(\bar{x})=\delta_j f(\bar{x})=\frac{\delta f}{\delta x_j}(\bar{x})=\) \(\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(\bar{x}+he_j)-f(\bar{x})}{h}\). (dove \(e_j\) è definito come
\(e_1=(1,0,\dots,0)\), \(e_2=(0,1,\dots,0),\dots\), \(e_n=(0,0,\dots,1)\) )
Notazioni
\(\frac{\delta f}{\delta y}f(\bar{x},\bar{y})= D_y f(\bar{x},\bar{y})=\delta_y f(\bar{x},\bar{y})\)

Definizione di funzione di classe 1 e 2

Teorema: differenziabilità delle funzioni di classe 1

Definizione Derivata direzionale

Def: matrice Jacobiana

Definizione:punti di sella

Definizione: Derivata seconda

Definizione: Matrice Hessiana

Teorema: Schwarz derivate

Vettore massimo di una funzione in r^n

Derivata del vettore massimo di una funzione in R^n

Taylor secondo ordine con resto secondo lagrange in n>1